符号说明:

Fex---- 作用在以Dm为直径的圆周上的轴向力，N;
e_x---- 单波轨向变形量，mm; h---- 波纹管的波高，mm;
Dm---- 波纹管的平均直径，mm; q---- 波纹管的波距，mm;
Dm=D_b+h r---- 波纹管波纹的曲率半径，mm;
D_b---- 波纹管直边段内径，mm; a---- 波纹管波纹的直线段长度，mm;
δ---- 波纹管的名义厚度，mm; δm---- 波纹管成形后的壁厚，mm;
E---- 波纹管材料的弹性模量，Mpa; m----波纹管厚度为δ的层数;
Cm---- 材料强度系数，热处理态波纹管取Cm=l.5；成形态波纹管取Cm=3.0;
Cwb---- 波纹管纵向焊缝;
Cf、Cp、Cd---- 形状尺寸系数，由图38、41、42求取。
f_i---- 波纹管单波轴向刚度，N/mm;
Kx---- 膨胀节整体轴向刚度，N/mm;
Ky---- 膨胀节整钵横向(侧向)刚度，N/mm;
K_θ---- 膨胀节整体弯曲(角向)刚度,K·m/°θ;
Ku---- 计算系数
Ku=(3L_u²-3L_bL_u)/(3L_u²-6L_bL_u+4L_b²)
L_b---- 波纹管的波纹段长度，mm;L_b=Nq
N---- 一个波纹管的波数;
L_u----复式膨胀节中，两波纹管最外端间的距离，mm;

1、刚度计算

1.1、波纹管单波轴向刚度计算

波纹管的波高与直径之比较小，如将其展开，可简化为如图37(b)所示的两端受轴向线载荷的曲杆。轴向的总力为Fex。在弹性范围内，利用变形能法可以推导出轴向力与轴向变形之间的近似关系式(1)。

Fex=[(πD_mEδ³)/24C]-e_x N (1)

式中 C=0.046r³-0.142hr²+0.285h²+0.083h³ mm³ (2)

则波纹管刚度f_i′为 f_i′=Fex/ e_x (3)

考虑到力学模型的近似性以及波纹管制成后壁厚减薄等因素，对公式（1）进行修正并代入（3）式则得：

f_i′=(1.7D_mEδ_m³)/(h³C_f) N/mm (4)

式中：δ_m=δ√D_b/D_m (5)

对于多层结构的波纹管，其刚度按（6）式计算：

f_i=(1.7D_mEδ_m³m)/(h³C_f) N/mm (6)

1.2、膨胀节整体弹性刚度计算

（1）轴向刚度

（a）单式膨胀节整体刚度K_x=f_i/N (7)

（b）复式膨胀节整体刚度K_x=f_i/2N (8)

（2）侧向刚度

（a）单式膨胀节整体刚度K_y=(1.5D_m²f_i)/[L_bN(L_b±X)²] (9)
（b）复式膨胀节整体刚度K_y=(K_uD_m²f_i)/[4NL_u(L_u-L_b±X/2)] (10)侧向刚度计算中，轴向位移X拉伸时取“+”，压缩时取“-”。

（3）整体弯曲刚度

K_θ=（πD_m²f_i）/（1.44×10⁶N） (11)

2 未加强U形波纹管的应力计算

(1)内压引起的周向薄膜应力σ₂

由图39可知，当受内压P作用时，在一个U形波的纵截面上的内力与作用在半个环壳上的外力平衡。
4(πr+α)δ_mσ₂=qD_mP
σ₂=(qD_mP)/[4(πr+α)δ_m] MPa (12)
几何尺寸r、α有如下关系：
r=q/4
α=h-q/2 (13)
将（13）式代入（12）式，得周向薄膜应力为：
σ₂=(D_mP)/[2mδ_m(0.571+2h/q)] MPa (14) 

（2）内压引起的径向薄膜应力σ₃
当波纹管受内压P作用时，在以D与D_b为直径的两个环形截面上的内力与轴向外力平衡，则：
π(D+D_b)δ_mσ₃=(π/4)(D²-D_b²)P (15)
因D=D_b+2h,代入上式，经整理后得：
σ₃=Ph/2δ_mm MPa (16)

（3）内压引起的径向弯曲应力σ₄
在经线为半个U形环壳上切出单位宽度的窄条（见图40），设两端固定，并受均布压力P作用，可得最大弯距为：
M=P·h²/12 (17)
断面系数为：W=πD_mδ_m²/6 (18)
则径向弯曲应力为：
σ₄=M/w=P·h²/2δ_m² MPa (19)
考虑形状尺寸的影响，引进修正系数(EJMA法)得：
σ₄=（P·h²Cp）/2cm (20)

图39 U形膨胀节的几何参数。

图40 环壳上的几何尺寸

（4）由轴向力F_ex引起的径向薄膜应力σ₅ 
由式（3）、式（4）可得：
σ₅=F_ex/πD_mδ_m=（1.7Eδ_m²e_x）/（πh³C_f） MPa (21)
按EJMA法修正后，其公式形式为：
σ₅=（Eδ_m²e_x）/（2πh³C_f） MPa (22)
式（22）为实际计算公式。
（5）由轴向力F_ex引起的径向弯曲应力σ₆ 
可以证明在F_ex作用下，最大弯矩发生在波顶B处（见图37），其值为：
M_max=F_exh/2 (23)
断面系数为：W=πD_mδ_m²/6 (24)
则弯曲应力为：σ₆=M_max/w=3F_exh/πD_mδ_m² MPa (25)
引入公式（3）、（4）的关系，得：σ₆=（5Eδ_me_x）/（πh²C_d） MPa (26)
按EJMA法修正后得：
σ₆=（5Eδ_me_x）/（3h²C_d） MPa （27）
（6）应力评定
a、薄膜应力
σ₂≤Cwb[σ]_b^t (28)
σ₃≤[σ]_b 
b、弯曲应力：σ₃+σ₄≤C_m[σ]_b^t (29)
c、经向总应力范围：
σ_t=0.7(σ₃+ σ₄)+σ₅+σ₆ (30)

以上介绍的U形膨胀节计算的方法，尽管由于力学模型的简化，给计算结果带来一定程度的误差，但因公式比较简单，又根据实际情况进行了修正与调整，故在工程设计时仍然得到广泛的应用。

U形膨胀节也可看作环壳与环板的组合体，承受轴对称的载荷。列出平衡方程进行求解也可得出计算公式。但其过于繁复，不便于应用。

近年来利用有限元法对膨胀节的应力分析研究工作也取得了进展。它以有限单元的集合代替无限单元的连续体，作物理上的近似，通过能量原理得出离散方程，经过求解，可以得到各离散单元的应力与位移的数值解。有利于进行精确的设计计算。

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